Derivert av høgare orden

Eit gjennomarbeidd døme med induksjon

Hans Georg Schaathun

August 2016

Finn eit generelt uttrykk for den $n$te-deriverte $f^{(n)}(x)$ der $$f(x) = \frac1{x+1}$$

$$f(x) = \frac1{x+1} = (x+1)^{-1}$$

$$f'(x) = (-1)(x+1)^{-2}$$

$$f''(x) = (-2)(-1)(x+1)^{-3} = 2(x+1)^{-3}$$

$$f^{(3)}(x) = (-3)(2)(x+1)^{-4} = (-6)(x+1)^{-4}$$

$$f^{(4)}(x) = (-4)(-6)(x+1)^{-5} = 24(x+1)^{-5}$$

$$f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(x+1)^{-n-1}$$

$$f(x) = (x+1)^{-1}$$

$$f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(x+1)^{-n-1}$$

$$f^{(0)}(x) = (-1)^00!(x+1)^{-0-1}$$

$$f^{(0)}(x) = 1\cdot1\cdot(x+1)^{-1}$$

$$f^{(0)}(x) = f(x)$$

$$f(x) = (x+1)^{-1}$$

$$f^{(n)}(x) = (-1)^nn!(x+1)^{-n-1}$$

$$f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} f^{(n)}(x)$$

$$f^{(n+1)}(x) = \frac{d}{dx} (-1)^nn!(x+1)^{-n-1}$$

$$f^{(n+1)}(x) = (-1)^nn!\frac{d}{dx} (x+1)^{-n-1}$$

$$f^{(n+1)}(x) = (-1)^nn!\cdot (-n-1)(x+1)^{-n-2}$$

$$f^{(n+1)}(x) = (-1)^{n+1}(n+1)!(x+1)^{-(n+1)-1}$$

Grunnfall Vis at påstanden er sann for eitt tilfelle t.d. $n=0$ eller $n=1$
Induksjonsfall
1. Føreset at påstanden er sann for ein bestemt verdi $n$
2. Vis at det då fylgjer at påstanden er sann for $n+1$
Konklusjon Fordi setninga er sann for det fyrste tilfellet, og kvart tilfelle fører til at han er sann for neste tilfelle, kan me konkludere at han er sann for alle tilfelle frå og med det fyrste.