Velkjende derivasjonsreglar | Fellesemnet i Matematikk

5.1. Velkjende derivasjonsreglar

Mykje av stoffet om derivasjon er kjent frå matematikken i vidaregåande skule, forkurs eller sumarkurs. Videoane nedanfor presenterer reknereglar som skal vera kjende, men det kan henda at dei gjev eit nytt og nyttig perspektiv.

Problem 5.1 Finn den deriverte:

\frac{d}{d x} x^{9} =

Problem 5.2 Lat $f (x)$ og $g (x)$ vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte $f^{'} (x)$ og $g^{'} (x)$ . Lat $h (x) = f (x) + g (x)$ og finn den deriverte $h^{'} (x)$ .

Oppgåve 5.1 (Differanseregelen for derivasjon) Lat $f (x)$ og $g (x)$ vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte $f^{'} (x)$ og $g^{'} (x)$ . Lat $h (x) = f (x) - g (x)$ og finn den deriverte $h^{'} (x)$ .

Problem 5.3 Lat $f (x)$ vera ein deriverbar funksjonar, og skriv $h (x) = c \cdot f (x)$ for ein eller annan konstant $c$ . Finn $h^{'} (x)$ .

Problem 5.4 Lat $f (x)$ og $g (x)$ vera deriverbare funksjonar, og skriv $h (x) = f (x) \cdot g (x)$ . Finn $h^{'} (x)$ .

Oppgåve 5.2 Lat $f (x) = 1 ∕ x$ . Bruk definisjonen

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{\frac{1}{x + Δ x} - \frac{1}{x}}{Δ x}

for å finna $f^{'} (x)$ .

Oppgåve 5.3 Lat $f (x) = 1 ∕ x$ . Hugs at $1 ∕ x = x^{- 1} = f (x)$ og bruk den generelle regelen for potenser (Problem 5.1) for å finna $f^{'} (x)$ .

Samanlikn svaret med svaret i forrige oppgåve.

Sats 3 (Resiprokalregelen (generell form)) Den deriverte av $1 ∕ f (x)$ er gjeven som

\frac{d}{d x} \frac{1}{f (x)} = - \frac{f^{'} (x)}{{(f (x))}^{2}}

Du finn eit bevis for resiprokalregelen i læreboka. Me skal gje eit anna bevis, basert på kjerneregelen, i neste økt.

Oppgåve 5.4 (Kvotientregelen for derivasjon) Lat $f (x)$ og $g (x)$ vera to funksjonar, der me kjenner dei deriverte $f^{'} (x)$ og $g^{'} (x)$ . Lat

h (x) = \frac{f (x)}{g (x)}

og finn den deriverte $h^{'} (x)$ .

Legg merke til at

h (x) = f (x) \cdot \frac{1}{g (x)} .

Du kan dermed bruka produktregelen, der resiprokalregelen gjev det eit uttrykk for

\frac{d}{d x} \frac{1}{g (x)} .