Økt 22. Invers substitusjon | Fellesemnet i Matematikk

22. Økt 22. Invers substitusjon

Invers substitusjon er forklart i Kapittel 6.3 i Adams og Essex.

Problem 22.1 Finn integralet

\int \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}} d x =

Oppgåva kan løysast på fleire ulike måtar, men her er me interessert i invers substitusjon som prinsipp.

Problem 22.2 Finn integralet

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x =

Oppgåve 22.1 Som eit alternativ til $tan$ i dømet over, can ein bruka $sinh$ . Finn integralet

\int \frac{1}{\sqrt{a^{2} + x^{2}}} d x =

ved hjelp substitusjonen $x = a sinh u$ .

Du treng fylgjande formlar

\begin{align} {sinh}^{2} u + 1 & = {cosh}^{2} u & (39) \\ {sinh}^{- 1} x & = ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) & (40) \\ \frac{d}{d u} sinh u = cosh u & (41) \end{align}

Oppgåve 22.2 Finn integralet

\int \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 16}} d x =

Her kan du prøva med substitusjonen $x = a sec θ$ .

Du må tenkja gjennom fylgjande spørsmål på vegen. Forøvrig kan du fylgja mynsteret i døma over.

1.: Finn $d x ∕ d θ$ .
2.: Kva verdi vel du for $a$ ?
3.: Korleis kan du forenkla ${sec}^{2} θ - 1$ ?

Problem 22.3 Finn integralet

\int \frac{1}{1 + s i n θ + cos θ} d θ =

Oppgåve 22.3 Oppgåve 9 i Kapittel 6.1 i Adams og Essex.

Oppgåve 22.4 Oppgåve (1), 3, 5 (se formelsamling), 7, (9) i Kapittel 6.3 i Adams og Essex.

Oppgåve 22.5 Gå gjennom læreboka (Kapittel 6.3 Adams og Essex) og lag di eiga «formelsamling» over inverse substitusjonar. For kvar substitusjon ( $sin$ , $sec$ , $cosh$ osv.) skriv du ned kva integrandformar der substitusjonen er egna.