Økt 20. Delvis integrasjon

20.3. Løysingsforslag

For å løysa denne oppgåva med delvis integrasjon so må me kunna derivera ${tan}^{=1}$ (som er enklare enn å integrera ${tan}^{-1}$). Det igjen, krev at me kan derivera $tan$. Lat oss starta med desse to delproblema.

No kan me skriva

$$\begin{array}{lllll}\hfill U& ={tan}^{-1}x& \hfill \Rightarrow dU& =\frac{dx}{1+x^2}& \hfill \text{(31) }\\ \hfill dV& =x^{2}dx& \hfill \Rightarrow V& =\frac{1}{3}{x}^3& \hfill \text{(32) }\end{array}$$

Desse uttrykka kan me setja inn i integralet for å løysa med delvis integrasjon:

$$\begin{array}{lll}\hfill \begin{array}{rl}\int \; <!--nolimits-->x^2{tan}^{-1}xdx& =\int \; <!--nolimits-->UdV\\ & =UV-\int \; <!--nolimits-->VdU\\ & =\frac{1}{3}{x}^3{tan}^{-1}x-\int \; <!--nolimits-->\frac{1}{3}{x}^3\cdot \frac{1}{1+x^2}dx\end{array}& & \hfill \text{(33) }\end{array}$$

Det siste integralet kan me studera for seg sjølv.

No har me det me treng, og kan setja inn i (34):

$$\begin{array}{lll}\hfill \begin{array}{r}\int \; <!--nolimits-->x^2{tan}^{-1}xdx\\ & =\frac{1}{3}{x}^3{tan}^{-1}x-\frac{1}{6}\left(\right.x^2-ln\left(1+x^2\right)\left)\right.\\ & =\frac{1}{6}\left(\right.2x^3{tan}^{-1}x-x^2+ln\left(1+x^2\right)\left)\right.\end{array}& & \hfill \text{(34) }\end{array}$$