Fellesemnet i Matematikk

Økt 1. Introduksjon til grenseverdiar

Øvingsoppgåver (andre time)

1.2. Øvingsoppgåver (andre time)

Studentane arbeider i grupper à 3–4 personar. Kvar student tek ansvar for éi av dei fire oppgåvene nedanfor, løyser ho og forklarer løysinga til resten av gruppa. Det er lov å hjelpa kvarandre undervegs. Det viktigaste er ikkje å løysa alle oppgåvene, men at alle skjøner korleis dei vert løyst.

Oppgåvene liknar sprettballføredraget og thoriumproblemet over, og alle består av tre hovudsteg:

1.: Plotta ein funksjon.
2.: Rekna ut gjennomsnittleg endring (t.d. hastigheit) i ulike intervall.
3.: Estimera momentan endring i eit punkt.

Når de går gjennom løysingane, er det lurt å samanlikna dei, og sjå kva som er likt og ulikt.

Oppgåve 1.2 Ein radiostasjon sendar med ein effekt på 1000 Watt. Signaleffekten minskar med avstanden, og dvs. at di lenger mottakaren er frå sendaren, di dårlegare vert mottaket. Signaleffekten på ein mottakar som står $d$ meter frå sendaren er gjeve som

p (d) = \frac{1000}{d^{2}} .

1.: Plot funksjonen $p (d)$ på intervallet $d = 0 \dots 30$ .
2.: Tenk deg ein mottakar som i utgangspunktet står $d = 10$ meter frå sendaren. Studer effekttapet når mottakeren vert flytta $Δ d$ meter bort frå sendaren. Tabulér gjennomsnittleg effekttap per meter når mottakaren flytter frå $d$ til $d + Δ d$ meter, for $Δ d = 1, 0.1, 0.01, 0.001$ .
3.: Estimér det momentane effekttapet (målt i W/m – Watt per meter) når mottakaren vert flytta frå $d = 10$ meter.

Oppgåve 1.3 Sjå for deg ein partikkel som beveger seg langs ein rett linje; lat oss si $x$ -aksen. Posisjonen (i meter frå origo) på $x$ -aksen etter $t$ sekund er gjeve ved funksjonen

x (t) = 3 t^{2} - 12 t + 1 .

1.: Plot funksjonen $x (t)$ på intervallet $t = 0 \dots 20$ .
2.: Studer hastigheita rundt tidspunktet $t = 10$ . Tabulér gjennomsnittshastigheita på intervallet $[t, t + Δ t]$ for $Δ t = 1, 0.1, 0.01, 0.001$ .
3.: Estimér den momentane hastigheita på tidspunktet $t = 10$ sekund.

Oppgåve 1.4 Tenk deg eit lodd som er hengt opp etter ein fjær i taket. Dersom me dreg loddet rett opp eller ned og so slipp, vil det dansa opp og ned i ein so-kalla harmonisk rørsle. I eit bestemt tilfelle er høgda over golvet (i meter) gjeve ved funksjon av tida (i sekund), som fylgjer

h (t) = 2 + \frac{1}{π} sin (π t)

1.: Plot funksjonen $h (t)$ på intervallet $t = 0 \dots 20$ .
2.: Studer hastigheita rundt tidspunktet $t = 10$ . Tabulér gjennomsnittshastigheita på intervallet $[t, t + Δ t]$ for $Δ t = 1, 0.1, 0.01, 0.001$ .
3.: Estimér den momentane hastigheita på tidspunktet $t = 10$ sekund.

NB! Argumentet til $sin$ er målt i radianar. Dersom du bruker lommekalkulator, må du sjå til at han er innstilt på radianar og ikkje gradar.

Merknad 1 Vinklar, gjennom heile kurset, vert alltid målt i radianar. Aldri i gradar. Det er m.a. fordi dei trigonometriske funksjonane (inkl. $sin$ ) er oppfører seg pent og er enkle å derivera, når me bruker gradar.

Oppgåve 1.5 Tenk deg ein cellekultur der kvar celle delar seg ein gong i døgeret (i gjennomsnitt). Lat $t$ vera tida i dagar, og start med éi celle på tidspunkt $t = 0$ . Talet på celler etter $t$ dagar kan då skrivast som

f (t) = 2^{t}

1.: Plott funksjonen $f (t)$ på intervallet $t = 0 \dots 20$ .
2.: Studer cellevektsten rundt tidspunktet $t = 10$ dagar. Tabulér den gjennomsnittlege vekstraten i cellekulturen i løpet av intervallet $[t, t + Δ t]$ for $Δ t = 1, 0.1, 0.01, 0.001$ .
3.: Estimér den momentane vekstraten på tidspunktet $t = 10$ dagar.