Annuitetar

Eksempeloppgåve 5.8 (Fast sparing over lang tid) Ola har ein sparekonto med 3% rente. Han set inn 1000 kr. kvart år i tredve år. Kor stor er saldoen når han har sett inn det tredvte beløpet?

Løysing 5.5 Oppgåva er identisk med oppgåve 5.1 bortsett frå at perioden er lenger. Me har tredve sparebeløp som får renter fleire eller færre gongar. Det fyrste får rente 29 gongar, og det siste ingen gongar. Dette gjev ein sum med tredve ledd:

\begin{align} \begin{aligned} S_{30} & = \sum_{i = 0}^{29} 1000 \cdot {1,03}^{i} \\ = 1000 \cdot \sum_{i = 0}^{29} {1,03}^{i} . \end{aligned} & (31) \end{align}

Merk at $i$ går frå 0 t.o.m. 29, det gjev 30 ledd.

Me kan setja dette opp i ein tabell som då me hadde seks periodar, men det er mykje arbeid. I staden skal me bruka rekneregel 5.1, der $x = 1,03$ er vekstfaktoren og $n = 30$ er talet på periodar. Me skriv

\begin{align} \begin{aligned} S_{30} & = 1000 \cdot \sum_{i = 0}^{29} {1,03}^{i} \\ = 1000 \cdot \frac{{1,03}^{30} - 1}{1,03 - 1} \\ = 1000 \cdot \frac{{1,03}^{30} - 1}{0,03} \end{aligned} & (32) \end{align}

Siste steg kan me rekna ut på kalkulator:

S_{30} \approx 1000 \cdot 47,575 415 7 \approx 47 575,42 .

Øvingsoppgåve 5.9 Gjenta oppgåve 5.2 men bruk formelen for ei geometrisk rekkje som over. Får du same svar som før?

Øvingsoppgåve 5.10 Kari har 4% rente på sparekontoen sin og sparer 100 kr kvart år i 35 år. Kor mykje står på kontoen hennar når ho har sett inn det 35. beløpet?

Eksempeloppgåve 5.11 Pelle har spart 2000 kr i året sidan år 2000. Han satte inn det fyrste beløpet 1. januar 2000 og det siste beløpet 1. januar 2017. Rentesatsen er 2,5%. Kor mykje pengar har han på konto når han har fått rentene ved utgangen av 2017?

Løysing 5.6 (Beint fram med lange summar) Her har Pelle spart i 18 år, og me tek med rentene for det attande året i summen. Dermed har det fyrste sparebeløpet fått renter for 18 år, og det attande og siste beløpet har fått renter for eitt år.

Saldoen som me skal fram til er dermed

S_{18} = 2000 \cdot {1,025}^{18} + 2000 \cdot {1,025}^{17} + \dots + 2000 \cdot {1,025}^{2} + 2000 \cdot {1,025}^{1} .

Det er greitt å setja felles faktorar utanfor parentes, slik at 1 vert det siste leddet i summen; slik

S_{18} = 2000 \cdot 1,025 \cdot ({1,025}^{17} + {1,025}^{16} + \dots + {1,025}^{2} + {1,025}^{1} + {1,025}^{0}) .

Skriv me dette med summeteikn får me

S_{18} = 2000 \cdot 1,025 \cdot \sum_{i = 0}^{17} {1,025}^{i} .

No kan me lett bruka formelen, og skriva

S_{18} = 2000 \cdot 1,025 \cdot \frac{{1,025}^{18} - 1}{1,025 - 1} .

Når me reknar ut, gjerne med kalkulator, får me

S_{18} = 2050 \cdot 22,386 = 45 892,01 .

Saldoen ved utgangen av 2017 er altså 45 892,01 kr.

Løysing 5.7 (Med summeteikn) Her har Pelle spart i 18 år, og me tek med rentene for det attande året i summen. Dermed har det fyrste sparebeløpet fått renter for 18 år, og det attande og siste beløpet har fått renter for eitt år.

Saldoen som me skal fram til er dermed

S_{18} = 2000 \cdot \sum_{j = 1}^{18} {1,025}^{j} .

Merk at summen startar med $j = 1$ , og ikkje $i = 0$ som i formelen. Me må difor skriva om summen slik at han startar med $i = 0$ .

Me kan skilja ut éin faktor frå potensen, slik

S_{18} = 2000 \cdot \sum_{j = 1}^{18} 1,025 \cdot {1,025}^{j - 1} = 2000 \cdot 1,025 \cdot \sum_{j = 1}^{18} {1,025}^{j - 1} .

Eksponenten $j - 1$ startar no på 0 (for $j = 1$ ). Lat oss setja $i = j - 1$ ; då får me

S_{18} = 2000 \cdot 1,025 \cdot \sum_{i = 0}^{17} {1,025}^{i},

og me kan bruka formelen, som gjev

S_{18} = 2000 \cdot 1,025 \cdot \frac{{1,025}^{18} - 1}{1,025 - 1} .

Når me reknar ut, gjerne med kalkulator, får me

S_{18} = 2050 \cdot 22,386 = 45 892,01 .

Saldoen ved utgangen av 2017 er altså 45 892,01 kr.

Merknad 5.4 Merk at resonnementet er det same i båe løysingsforslaga. Det er berre notasjonen som skil dei.

Løysing 5.8 (Med summeteikn) Der er ein tredje variant av løysingsmetoden.

Me kan fyrst rekna ut saldoen like etter at det 18de beløpet er sett inn, på same måte som me gjorde i oppgåve 5.8. Då har me

S_{18}^{'} = 2000 \cdot \sum_{j = 0}^{17} {1,025}^{j} = 2000 \cdot \frac{{1,025}^{18} - 1}{1,025 - 1} = 44 772,70 .

Eitt år seinar har Pelle fått renter (2,5%) men ikkje sett inn fleire innskot. Dermed veks saldoen med ein vekstfaktor på 1,025. Altso

S_{18} = 1,025 \cdot S_{18}^{'} = 1,025 \cdot 44 772,70 = 45 892,01 .

Saldoen ved utgangen av 2017 er altså 45 892,01 kr.

Øvingsoppgåve 5.12 Ingeborg skal spara til pensjon. Ho sparer 10 000 kr per år, med det fyrste beløpet 1. januar 1995 og det siste beløpet 1. januar 2018. Rentesatsen er 4%. Kor mykje pengar har ho på kontoen ved utgangen av 2018, inklusive renter for 2018?

Veke 5–6. Finansmatematikk

5.3 Annuitetar