Matematisk Problemløysing 2020

Veke 1. Prosentrekning

Vekstfaktor

1.5 Vekstfaktor

Ei prisauke frå 10 kr. til 15 kr. kan skildrast på to måtar, anten additivt (med pluss) eller multiplikativt (med ganging):

\begin{align} 15 kr & = 10 kr + 5 kr & (7) \\ 15 kr & = 10 kr \cdot 1,50 & (8) \end{align}

Hittil har me arbeidd med additiv endring, anten me har skildra det som ei absolutt auke på 5kr. eller ei relativ auke på 50%.

Merk at me òg taler om additiv og multiplikativ endring om ei nedgang, t.d. frå 10kr. til 8kr.:

\begin{align} 8 kr & = 10 kr - 2 kr & (9) \\ 8 kr & = 10 kr \cdot 0,80 & (10) \end{align}

Faktorane $1,50$ i (8) og $0,80$ i (10) kallar me for vekstfaktorar.

Eksempeloppgåve 1.29 Sett at me set inn $x$ kr. på bankkonto til $3 %$ rente per år. Saldoen etter eitt år er då $x$ kr. pluss $x \cdot 0,03$ kr. i renter, til saman $x + x \cdot 0,03$ . Finn vekstfaktoren på bankkontoen.

Løysing 1.11 Legg merke til den felles faktoren $x$ i uttrykket for saldoen (inneståande beløp på kontoen). Då kan me setja $x$ utanfor ein parentes og få.

x + x \cdot 3 % = (x \cdot 1 + x \cdot 3 %) = (x \cdot 1 + x \cdot 0,03) = x \cdot (1 + 0,03) .

Vekstfatoren er då $1 + 0,03$ , eller penare skrive $1,03$ .

Merk at me ikkje treng å kjenna beløpet $x$ for å finna vekstfaktoren.

Øvingsoppgåve 1.30 Bustadprisane har stige med $6,5 %$ siste året. Kva er vekstfaktoren?

Øvingsoppgåve 1.31 ( $⋆$ ) Prisindeksen er stige frå 1200 til 1216 siste året. Kva er vekstfaktoren for prisindeksen?

Løysing 1.12 (Utfyllingsforslag) Me løyser oppgåva i to steg.

1.: Finn prosentvis auke. Prisindeksen har gått opp 16 poeng frå 1200 poeng. Kva er prosentvis auke?
2.: Finn vekstfaktoren ut frå den prosentvise auka.

Fullfør kvart steg på eiga hand.

Eksempeloppgåve 1.32 Gjennomsnittleg kvadratmeterpris på nye bustader var 20 250 kr. i fjor. I år er prisen 20 010 kr. Kva er vekstfaktoren?

Løysing 1.13 (Tostegsløysing) Me ser ein prisnedgang på $20 250 - 20 010 = 240$ kr. Prosentvis nedgang er då

\frac{240}{20250} = 0.0119 = 1,19 % .

Me kan skriva den nye prisen som

20 010 = 20 250 - 0,0119 \cdot 20 250 = (1 - 0,0119) \cdot 20 250 = 0,988 \cdot 20 250 .

Vekstfaktoren er altso $0,988$ .

Løysing 1.14 (Likning) Me kan modellera auka direkte med den ukjend vekstfaktoren. Lat oss kalla vekstfaktoren for $v$ . Auka er da modellert som

nypris = v \cdot førpris,

eller

20 010 = v \cdot 20 250 .

Dette er ei enkel fyrstegradslikning som me løyser ved å dela på førprisen:

\begin{align} \frac{20 010}{20 250} = v . & (11) \end{align}

Divisjonen kan me ta på kalkulator, og me får at vekstfaktoren er $v \approx 0,9881$ . Me ser ein prisnedgang på $20 250 - 20 010 = 240$ kr.

Øvingsoppgåve 1.33 Ola investerte 7500 kr. i aksjer i fjor. I år er porteføljen hans verd 6500 kr. Kva er vekstfaktoren på porteføljen hans?

Øvingsoppgåve 1.34 ( $⋆$ ) En cellekultur vog 200 gram i går. I dag veg han 350 gram. Kva er vekstfaktoren åt cellene?

Øvingsoppgåve 1.35 ( $⋆$ ) Kari investerte 9000 kroner i aksjefond i fjor. I år er andelen hennar verd 31 000 kr. Kva er vekstfaktoren på aksjefondet?

Merknad 1.5 Likning (11) i løysingsforslaget over er ofte brukt som definisjonen på vekstfaktor.