Veke 2. Vekst

Øvingsoppgåve 2.1 Prisen var 250 kr for to år sidan, men har auka med ein vekstfaktor på 1,1 to år på rad. Kva er prisen no?

Øvingsoppgåve 2.2 Buksa og jakka kostar 1000 kr kvar. Buksa gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Jakka gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Kor mykje kostar buksa og jakka no?

Eksempeloppgåve 2.3 Prisen var 200 kr for to år sidan, men har auka med ein vekstfaktor på 1,1 to år på rad. Kva er den samla vekstfaktoren over to år? Kva er samla prosentvis auke?

Løysing 2.1 Etter to år får me (i kroner)

Me kan ganga faktorane i den rekkjefylgja me ynskjer. Me veit at $\text{1,1}\cdot \text{1,1}=\text{1,21}$, og dermed har me

Den samla vekstfaktoren er altso $\text{1,21}$, og den prosentvise auka er $21\%$.

Merknad 2.1 Legg merke til korleis me bruker multiplikasjon med påfylgjande vekstfaktorar. Dette er viktig. Når me arbeider med vekstfaktor er det alltid multiplikasjon, og ikkje addisjon, og me skal sjå vidare at mange store og samansette problem vert enklare på denne måten.

Øvingsoppgåve 2.4 Du set inn 400 kroner på konto til 2% rente. Kva er vekstfaktoren? Kva er samla vekstfaktor over to år?

Øvingsoppgåve 2.5 ($\star$) Du set inn 1200 kroner på konto til 3% rente. Kva er samla prosentvis saldoauke over to år?

Øvingsoppgåve 2.6 ($\star$) Buksa og jakka kostar 1000 kr kvar. Jakka gjekk ned 4% i fjor, og opp 2% i år. Buksa gjekk opp 2% i fjor, og ned 4% i år. Kva er den samla prosentvise auka for jakka? For buksa?

Eksempeloppgåve 2.7 Prisauka i år er på 2%. Lønsmottakarane har fått lovnad om ein reallønsvekst på 1,5%. Kor mykje må lønningane auka nominelt?

Løysing 2.2 Rekninga i denne oppgåva er enkel, men det kan vera vanskelegare å verta overtydd om at me matematiserer riktig. Det kan difor vera nyttig å modellera svært omstendeleg.

For å vera konkret, lat oss seia at me ser på lønsauka for 2017 og 2018. Me taler gjerne om 2017-kroner og 2018-kroner for å skilja mellom verdien (kjøpekrafta) krona har på ulike tidspunkt. Når prisstiginga er 1,5%, tyder det at du treng 1,5% fleire 2018-kroner enn 2017-kroner for å ha same kjøpekraft.

Lat oss seia at løna var $x$ 2017-kroner i 2017. Det er det same som $x\cdot \text{1,015}$ 2018-kroner. For å ha null reallønsvekst, treng lønsmottakarane altso ei nominell lønsvekst på 1,5%.

No vil me auka kjøpekrafta med 2%. Dvs. at løna må auka frå $x\cdot \text{1,015}$ 2018-kroner til $x\cdot \text{1,015}\cdot \text{1,02}$ 2018-kroner. Dette kan forenklast som

Løna skal altso auka frå $x$ 2017-kroner til $x\cdot \text{1,0353}$ 2018-kroner, som gjev ei nominell lønsvekst på $\text{3,53}$%.

Øvingsoppgåve 2.8 Prisauka i år er på 1,8%. Kor mykje må lønningane auka (nominelt) for å få null reallønsvekst?

Øvingsoppgåve 2.9 ($\star$) Prisauka i år er på 1,5%, og lønsmottakarane krev 2,5% reallønsvekst. Kor stor må den nominelle lønsauka vera for å få det til?

Eksempeloppgåve 2.10 Sist år har lønningane stige 1%, men prisauka har vore 2%. Kor stor har reallønsveksten vore?

Løysing 2.3 Lat oss seia at lønninga i fjor var $x$ 2017-kroner. Vekstfaktoren nominelt var $\text{1,01}$. Me er interessert i den reelle vekstfaktoren, lat oss kalla han $v$.

Dersom me reknar med nominell løn, vert lønninga i år $x\cdot \text{1,01}$ 2018-kroner. Med realløn, får me $x\cdot v$ 2017-kroner. Sidan ein 2017-krone er verd det same som 1,02 2018-kroner, kan me rekna realløna om til nominell løn, som gjev $x\cdot v\cdot \text{1,02}$ 2018-kroner.

No har me to uttrykk for nominell løn etter auka, og dei må vera like

Ved å dela på båe sider, får me

Med kalkulator finn me at vekstfaktoren er 0,9902. Prosentvis reallønsauke er $v-1=-\text{0,0098}$ eller $-\text{0,98}$%.

Negativt tal tyder her ein reallønsnedgang på 0,98%.

Øvingsoppgåve 2.11 Sist år har lønningane stige 2%, og prisauka har vore 1%. Kor stor har reallønsveksten vore?