Matematisk Problemløysing 2020

Veke 5–6. Finansmatematikk

Aritmetiske rekkjer $†$

5.10 Aritmetiske rekkjer $†$

  5.10.1 Månadleg sparing i eitt år
  5.10.2 Månadleg sparing over tid
  5.10.3 Sparemål

Merknad 5.12 I dette avsnittet kjem me borti det som heiter aritmetiske rekkjer. Matematisk er dei enklare enn dei geometriske rekkjene som me har brukt hittil, men det er vanskeleg å finna enkle døme på praktisk bruk.

Oppgåvene me ser her er kompliserte, ved at me må bruka både aritmetiske og geometriske rekkjer, men dei er svært aktuelle for daglegdagse spareproblem.

Dersom det gjer det enklare, må du gjerne studera læreboka (kapittel 5.1–5.4) fyrst.

5.10.1 Månadleg sparing i eitt år

I forrige kapittel studerte me annuitetar, der renteperiodane og annuitetsperiodane fall saman, t.d. årleg sparing med årleg forrenting. I røynda er det vanleg å spara månadleg, men få rentene årleg. Då vert problemet meir samansett, men me kan løysa det likevel.

\begin{align} \sum_{i = 0}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2} & (34) \end{align}

Rekneregel 5.2: Gauss’ formel

Eksempeloppgåve 5.43 Jenny sparer 1000 kroner i månaden. Ho får 3% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Pengar som berre har stått på konto ein del av året får rente berre for den tida dei har stått på konto. Ho set inn pengane på slutten av kvar månad frå januar til desember. Kor mykje har Jenny på konto etter renteutbetalinga 31. desember?

Løysing 5.20 Jenny set inn tolv tusenlappar, som for ulike rentepåslag. Den fyrste tusenlappen står 11 månader og får eit rentepåslag på

3 % \cdot \frac{11}{12} = 2,75 %

av beløpet. Det andre beløpet står ti månader og får

3 % \cdot \frac{10}{12} = 2,5 %

av beløpet. Slik held det fram slik at saldoen vert

\begin{align} \begin{aligned} S & = 1000 \cdot (1 + \frac{11 \cdot 3 %}{12}) + 1000 \cdot (1 + \frac{10 \cdot 3 %}{12}) + \dots + 1000 \cdot (1 + \frac{0 \cdot 3 %}{12}) \\ = \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot (1 + \frac{i \cdot 3 %}{12}) \end{aligned} & (35) \end{align}

Dette liknar litt på dei geometriske rekkjene som me har sett, men der er ein skilnad, me kaller det ei aritmetisk rekkje. Det kjem me tilbake til sidan.

Lat oss dela opp summen, slik at me ser innskota og rentene kvar for seg:

\begin{align} \begin{aligned} S & = \sum_{i = 0}^{11} (1000 + 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12}) \\ = \sum_{i = 0}^{11} 1000 + \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12} . \end{aligned} & (36) \end{align}

Det fyrste ledded er simpelthen tolv innskot på 1000 kroner, til saman $12 000$ kroner. Det andre leddet er rentene. Lat oss sjå litt nærare på dei. Sidan ledda i summen er produkt der dei fleste ledda er eins, kan me trekkja utanfor summeteiknet, slik:

\begin{align} \begin{aligned} R & = \sum_{i = 0}^{11} 1000 \cdot \frac{i \cdot 3 %}{12}) \\ = \frac{1000 \cdot 3 %}{12} \cdot \sum_{i = 0}^{11} i \end{aligned} & (37) \end{align}

Faktoren foran summeteiknet er rentebeløpet som éin tusenlapp tener på éin månad. Summen talet på månader som tusenlappane har stått til saman. Her kan me bruka Gauss’ formel for rekneregel 5.2. Resultatet vert

\begin{align} \begin{aligned} R & = \frac{1000 \cdot 3 %}{12} \cdot \frac{11 \cdot 12}{2} \\ = \frac{1000 \cdot 3 % \cdot 11}{2} \\ = 165 . \end{aligned} & (38) \end{align}

Saldoen på slutten av året er då

\begin{align} S & = 12 000 + 165 = 12 165 . & (39) \end{align}

Merknad 5.13 I gamle dagar brukte ein 360 rentedagar i året, 30 rentedager i månaden, slik at ein ikkje fekk renter for den 31. i kvar månad, og doble eller tredoble renter siste dagen i februar. Dette var for å gjera jobben enkel for bokhaldarar som rekna for hand.

I dag får ein renter per kalenderdag. Datamaskiner har gjort at bankane klarer det. Prinsippet er det same; det er berre tala som vert styggare. For å læra prinsippet, reknar me for hand med 360 rentedagar i året. Løysinga over føreset 360 rentedagar i året.

Øvingsoppgåve 5.44 Anne Marie sparer 1200 kroner i månaden. Ho får 3,5% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Pengar som berre har stått på konto ein del av året får rente berre for den tida dei har stått på konto. Kor mykje har Anne Marie på konto etter renteutbetalinga 31. desember?

5.10.2 Månadleg sparing over tid

Eksempeloppgåve 5.45 Jenny sparer 1000 kroner i månaden. Ho får 3% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Kor mykje har Lise Lotte på konto etter 10 år?

Løysing 5.21 Denne oppgåva er litt meir komplisert enn dei vi har sett tidlegare, fordi me både må rekne med månadlege sparebeløp og med renter éin gong i året over fleire år. For å dela opp problemet i løysbare delar, tek me ein liten omveg.

Fyrst lat oss merkje oss at me (i dette tilfellet) får like mykje renter på sparepengane, uansett om me deler det på fleire konti eller har alt på same. Lat oss difor tenkja oss at Jenny har to konti. Slik at ho sparer månadleg på konto 1, og overfører alle pengane med renter på slutten av kvart år til konto 2.

På konto 1 sparer ho altso akkurat som i oppgåve 5.43. Sparinga og rentesatsen er den same kvart år, og ho sparer dermed opp $12 165$ kroner per år på denne kontoen.

På konto 2 overfører ho 12 165 kroner éin gong i året, like etter renteutbetalinga. Dette dannar dermed ei geometrisk rekkje som me er van med. Han set inn 10 slike beløp, der det fyrste får rente ni gongar og det siste null gongar. Saldoen vert dermed

S = \sum_{i = 0}^{9} 12 165 \cdot {1,03}^{i} = 12 165 \cdot \frac{{1,03}^{10} - 1}{0,03} = 139 458,09 .

Han sparer altso opp 139 458 kroner.

Øvingsoppgåve 5.46 Karl Anders sparer 2000 kroner i månaden. Han får 4% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Kor mykje har Karl Anders på konto etter åtte år?

Øvingsoppgåve 5.47 ( $†$ ) Kalle har 4% rente på sparekontoen og set inn 100 kr. per månad. Kor mykje har han på konto etter eitt år?

Han får rente på slutten av kvart år. Pengar som berre har stått på konto delar av året får rente i forhald til kor lenge dei har stått.

Øvingsoppgåve 5.48 ( $†$ ) Lise har 2% rente på sparekontoen og set inn 500 kr. per månad. Kor mykje har ho på konto etter tolv år?

Ho får rente på slutten av kvart år. Pengar som berre har stått på konto delar av året får rente i forhald til kor lenge dei har stått.

5.10.3 Sparemål

Eksempeloppgåve 5.49 Jenny sparer 1000 kroner i månaden. Ho får 3% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Kor mange år tek det før Jenny har spart 200 000 kroner?

Løysing 5.22 Her kan me bruka same tankesett som i oppgåve 5.45. Jenny sparer totalt $12 165$ kroner per år inklusive renter på dei nye innskota. Over $t$ år har ho spart

S = \sum_{i = 0}^{t - 1} 12 165 \cdot {1,03}^{i} = 12 165 \cdot \frac{{1,03}^{t} - 1}{0,03} .

Når me veit at målet er $S = 200 000$ , får me ein eksponentiell likning

200 000 = 12 165 \cdot \frac{{1,03}^{t} - 1}{0,03}

som me forenklar til

\frac{200 000 \cdot 0,03}{12 165} = {1,03}^{t} - 1

eller

{1,03}^{t} = \frac{200 000 \cdot 0,03}{12 165} + 1 = 1,493 218 .

Dette gjev

t = \frac{ln 1,493 218}{ln 1,03} = 13,56 .

Jenny treng altso mellom 13 og 14 år for å nå sparemålet.

Øvingsoppgåve 5.50 Anne Marie sparer 1200 kroner i månaden. Ho får 3,5% årleg rente, og rentene vert lagde til på slutten av året. Kor mange år tek det før Anne Marie har spart 200 000 kroner? (Bruk oppgåve 5.44 som mellomrekning.)

Øvingsoppgåve 5.51 I oppgåve 5.49 rekna me berre ut omtrentleg at Jenny trengte 13–14 år. Rekn ut nøyaktig kor mykje Jenny har på konto etter 13 år, og kor mykje ho då manglar på 200 000. Rekn so ut kor mange fleire månader ho må spara for å nå målet på 200 000. Hugs at ho ikkje får renter igjen før der er gått 12 nye månader.

5.10 Aritmetiske rekkjer†

5.10.1 Månadleg sparing i eitt år

5.10.2 Månadleg sparing over tid

5.10.3 Sparemål

5.10 Aritmetiske rekkjer $†$