Eksponential- og logaritmefunksjonen | Matematisk Problemløysing

15.2 Eksponential- og logaritmefunksjonen

\begin{align} f (x) & = e^{x} & gjev f^{'} (x) & = e^{x}, & (126) \\ f (x) & = ln x & gjev f^{'} (x) & = \frac{1}{x} . & (127) \end{align}

Rekneregel 15.2: Rekneregel: Derivasjon av logaritme- og eksponentialfunksjonen.

Eksempeloppgåve 15.5 Deriver funksjonen

f (x) = ln (x^{2} + x) .

Løysing 15.4 For å derivera $f (x)$ , må me bruka kjerneregelen. Den deriverte av logaritmefunksjonen $ln u$ er $1 ∕ u$ . Den deriverte av kjerna $x^{2} + x$ er $2 x + 1$ . Då har me

f (x) = \frac{1}{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) = \frac{2 x + 1}{x^{2} + x} .

Øvingsoppgåve 15.6 Deriver funksjonane

\begin{align} f (x) & = ln (x^{3} + 2), & (128) \\ g (x) & = ln (x^{4} + 2 x^{2} - x - 1), & (129) \\ h (x) & = e^{x^{2} + 1} . & (130) \end{align}

Eksempeloppgåve 15.7 Deriver funksjonen

f (x) = 2^{x} .

Løysing 15.5 Det er berre $e^{x}$ som er sin eigen derivert. For å derivera $2^{x}$ må me skriva om for å få eit uttrykk med $e$ . Sidan $e^{x}$ og $ln y$ er inverse funksjonar, har me $e^{l n 2} = 2$ . Dette kan me setja inn for 2, og få

f (x) = {(e^{ln 2})}^{x} .

So veit me at når me har nøsta potensar, kan me gonga saman eksponentane, dvs.

f (x) = e^{(ln 2) \cdot x} .

Her kan me bruka kjerneregelen. Eksponentialfunksjonen er sin eigen derivert, men me må òg derivera eksponenten (kjernen):

f^{'} (x) = e^{(ln 2) \cdot x} \cdot ln 2 .

Eksempeloppgåve 15.8 Deriver funksjonen

f (x) = 1 0^{x} .