Uendeleg kontantstraum

Eksempeloppgåve 5.35 Investoren Kristin West vurderer å kjøpa opp gründerbedrifta Knallstraum AS. Knallstraum AS er bygd på ein unik idé, og Kristin reknar med at dei vil tena 20 millionar kroner i året i all framtid. Kva er noverdien til bedrifta når me reknar med 4% diskonteringsrente?

Løysing 5.18 Noverdien til ei bedrift, er verdien av den kontantstraumen (inntektsstraumen) som ho er venta å gje. Det er naturleg å tenkja at den fyrste inntekten kjem om eitt år, slik at noverdien vert

I_{1} = \frac{20}{1,04},

rekna i mNOK.

Heile kontantstraumen vert ein sum med uendeleg mange ledd:

I = \frac{20}{1,04} + \frac{20}{{1,04}^{2}} + \frac{20}{{1,04}^{3}} + \frac{20}{{1,04}^{4}} + \dots = \sum_{j = 1}^{\infty} \frac{20}{{1,04}^{j}} = 20 \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} (\frac{1}{1,04})^{j},

der $\infty$ tyder uendeleg. Dette er eit godt utgangspunkt for å bruka formelen for ei geometrisk rekkje, men éin ting er feil. Summen startar på $j = 1$ , medan formelen krev at han startar med $j = 0$ . Dette kan me ordna, ved å ta éin faktor til utanfor summen:

I = 20 \cdot \frac{1}{1,04} \cdot \sum_{j = 1}^{\infty} (\frac{1}{1,04})^{j - 1} .

No ser me at når me tel frå 1, startar eksponenten $j - 1$ på 0. Set me inn $i = j - 1$ , får me

I = \frac{20}{1,04} \cdot \sum_{i = 0}^{\infty} (\frac{1}{1,04})^{i} .

No har me den vande formen, og formelen gjev

\begin{align} I = \frac{20}{1,04} \cdot \frac{(\frac{1}{1,04})^{\infty} - 1}{\frac{1}{1,04} - 1} . & (33) \end{align}

Sjå no på potensen som dukkar opp:

(\frac{1}{1,04})^{\infty}

Sidan nemnaren er større en teljaren er brøken mindre enn 1, og når me gongar brøken med seg sjølv vert talet enno mindre. Eksponenten $\infty$ tyder at me gongar brøken med seg sjølv uendeleg mange gongar, og dermed kjem potensen uendeleg nær null.

(\frac{1}{1,04})^{\infty} \approx 0

Då får me

I = \frac{20}{1,04} \cdot \frac{- 1}{\frac{1}{1,04} - 1} = \frac{- 20}{1 - 1,04} = \frac{- 20}{- 0,04} = \frac{20}{0,04}

Det siste steget tek me på kalkulator og finn $I = 500$ . Mao. bedrifta er verd 500 mNOK.

Øvingsoppgåve 5.36 Karl er ein litt meir pessimistisk investor. Han vurderer òg å by på Knallstraum AS, som i forrige oppgåve. Han er samd i inntektsvurderinga på 20 millionar kroner i året, men han reknar med 3% diskonteringsrente. Kor mykje kan Karl maksimalt tenkja seg å by på bedrifta?

Øvingsoppgåve 5.37 Optimisten Ola trur at Knallstraum AS kjem til å tena 25 millionar kroner i året i all framtid. Han reknar med 3,5% diskonteringsrente. Kor mykje meiner Ola at bedrifta er verd?

Merknad 5.11 Me har brukt litt uortodoks notasjon over, og skriv $x^{\infty}$ der strenge matematikarar ville ha skrive

lim_{a \to \infty} x^{a} .

Denne notasjonen med $lim$ for latin limes (engelsk limit) eller grenseverdi på norsk, er nyttig nok, men her er han unødvendig tungvint. Den uortodokse notasjonen $x^{\infty}$ er mykje lettare å forstå, og sidan han òg er utvetydig er det uproblematisk å ta han i bruk.

Veke 5–6. Finansmatematikk

5.8 Uendeleg kontantstraum