Fra Eksamen 2017 | Matematisk Problemløysing

Eksempeloppgåve 6.6 Du set 1000 kr. på konto til 2% rente.

1.: Kva er saldoen etter seks år?
2.: Kor mange år tek det før saldoen er 2000 kr.?

Vis korleis du kjem fram til svara.

Løysing 6.6 Del 1. Saldoen etter seks år er $1000 \cdot 1, 0 2^{6} \approx 1126, 16$ kroner.

Del 2. Saldoen etter $t$ år er

1000 \cdot 1, 0 2^{t} = 2000

Dette er ei likning som me kan forenkla til

1, 0 2^{t} = 2,

som gjev

t ln 1, 02 = ln 2,

Ergo

t = \frac{ln 2}{ln 1, 02} \approx 35, 00

Det tek altso 35 år å dobla saldoen.

Eksempeloppgåve 6.7 Per og Kari fekk ein genial idé då dei skreiv sisteårsoppgåve på studiet, og no vil dei starta bedrift. Dei trur at idéen deira kan gje ein profitt på éin million kronar ved utgangen av kvart år i fem år, før andre aktørar kjem etter og profitten forsvinn pga. konkurransen. Diskonteringsraten (rentenivået) er fem prosent.

1.: Kva er noverdien til profitten?
2.: Sett i staden at dei reknar med å vidareutvikla idéen og oppnå ein profitt på ein million per år til evig tid. Kva er noverdien til den evige profittstraumen?
3.: Det kostar dei fem millionar å starta bedrifta. Kor mange år tek det før dei har tent inn oppstartkostnaden?

Vis korleis du kjem fram til svara.

Løysing 6.7 Del 1. Noverdien (i millionar) er

\begin{align} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{5} \frac{1}{1, 0 5^{i}} & = \frac{1}{1, 05} \sum_{i = 0}^{4} \frac{1}{1, 0 5^{i}} \\ = \frac{1}{1, 05} \frac{(\frac{1}{1, 05})^{5} - 1}{\frac{1}{1, 05} - 1} \\ = \frac{(\frac{1}{1, 05})^{5} - 1}{- 0, 05} \\ \approx 4, 329 \end{aligned} & (48) \end{align}

Del 2. Noverdien (i millionar) er

\begin{align} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{\infty} \frac{1}{1, 0 5^{i}} & = \frac{1}{1, 05} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{1}{1, 0 5^{i}} \\ = \frac{1}{1, 05} \frac{- 1}{\frac{1}{1, 05} - 1} \\ = \frac{1}{0, 05} \\ = 20 . \end{aligned} & (49) \end{align}

Del 3. Set at det tek $t$ år før noverdien når fem (millionar). Me skal finna talet $t$ . Noverdien etter $t$ år (i millionar) kan skrivast som

\begin{align} \begin{aligned} \sum_{i = 1}^{t} \frac{1}{1, 0 5^{i}} & = \frac{1}{1, 05} \sum_{i = 0}^{t - 1} \frac{1}{1, 0 5^{i}} \\ = \frac{1}{1, 05} \frac{(\frac{1}{1, 05})^{t} - 1}{\frac{1}{1, 05} - 1} \\ = \frac{(\frac{1}{1, 05})^{t} - 1}{- 0, 05} \end{aligned} & (50) \end{align}

Me skal då løysa likninga

\begin{align} \begin{aligned} 5 & = \frac{(\frac{1}{1, 05})^{t} - 1}{- 0, 05} \end{aligned} & (51) \end{align}

eller

\begin{align} \begin{aligned} - 0, 25 & = (\frac{1}{1, 05})^{t} - 1 \end{aligned} & (52) \end{align}

eller

\begin{align} \begin{aligned} 0, 75 & = (\frac{1}{1, 05})^{t} \end{aligned} & (53) \end{align}

Dette gjev

\begin{align} \begin{aligned} ln 0, 75 & = t ln (\frac{1}{1, 05}) \end{aligned} & (54) \end{align}

eller

\begin{align} t & = \frac{ln 0, 75}{ln (\frac{1}{1, 05})} \approx 5,9 & (55) \end{align}

Det tek altso 5,9 år å tena inn oppstartskostnaden.

Merknad 6.10 (Del 3) Oppgåva har to hovudsteg. Det eine er å setja opp likninga og det andre er å løysa ho. Det er rimeleg å gje halv uttelling for likninga og halv uttelling for løysinga.

Merknad 6.11 Det vesentlege i denne oppgåva er at studentane veit å tolka oppgåva og har ein løysingsmetode som verkar og som dei er trygg på. Ein skal ikkje leggja vekt på at dei vel den beste metoden. Del 1 kan løysast ved å tabulera heile kontantstraumen, og det er heilt greitt. Del 3 kan i alle fall løysast omtrentleg med tabell. Full uttelling føreset eksakt løysing, men ei omtrentleg løysing (litt mindre enn seks år) med god grunngjeving må gje minimum halv uttelling.

Del 2 er verre å tabulera, men ein skal ikkje avvisa gode forsøk som gjev vel underbygd innsikt i problemet.

Fleire Døme i Finansmatematikk $†$

Frå Eksamen 2017

6.2 Frå Eksamen 2017